Geometri Açılar Konu Anlatımı

Geometrinin Temel Kavramları ve Açılar Test Soruları

Problem Çözümünde Kullanılan Öğretim Yöntemi

PROGRAMLI ÖĞRETİM (Skinner)

       Bireyin kendi kendine öğrenmesini esas alan ve içeriğin öğrenilebilecek küçük parçalara ayrılarak belirli bir sıra ve düzen içinde bireye sunulduğu ve öğrenildikçe yeni bir bilgi parçasına geçmenin esas olduğu bir öğretim yöntemidir. Bu yöntem günümüzde özellikle bilgisayar destekli öğretim ortamında farklı özellikleriyle uygulanmaktadır. Skinner'in geliştirdiği öğretme tekniğidir. Öğretimin bireyselleştirilmesi ve tam öğrenme ilkesi temel alınmıştır. Öğretimin bireylerin hızına göre düzenlenmesi esasına dayanır. Öğrencinin aktif katılımını gerektir. Böylece en az hata yapılarak öğrenme gerçekleştirilir. Küçük adımlar, etkin katılım, başarı, anında düzeltme, kademeli ilerleme, bireysel hız ilkeleri uygulanır.2 öğrenciler öğretmenin rehberliğinde işlenen konuyu inceler, açıklama yapar, gerektiğinde ipucu, dönüt, düzeltmeler yardımıyla doğruyu bulmaya çalışırlar.

HACİM VE ALAN HESAPLARI

15 / 11 / 2012 HACİM VE ALAN HESAPLARI 1  www.elektrobank.com.tr İSMİ ŞEKİL HACİM ALAN DİKDÖRTGEN PRİZMA V = a . b . c      A = 2(a . b + a . c + b . c) KÜP                                 d3 V = a3 = ------                2.828       A = 6 . a2 = 3d2 U = Altıgen çevresi PRİZMA A  = A1 . h         A1 = 2,598 . a A1 = AltIgen yüzey h = Yükseklik A = U . h + 2A1 A1 = 2,598 . a PİRAMİT                                           1 A = ----- . F.h                 3                           a2 hb =√ h2 + ------ L =                    4               a2 =√hb2 + -------                 4                      hbxa A =F +6 ( -------- )                         2 F = 2,598.a2  KONİ                    1 A = ------- F.h                  3 A = π.r.s +π.r2 S = √h2 +r2 KESİK KONİ                            π.h V = (R2 +r2 +R.r)  -----                             3 A = (R +r ).π.S +π (R2 +r2) S = √ h2 + (R −r )2 KÜRE                    4 V = ---- .π.r3                           3            V =4,189.r3                  V =0,5236.d3 A = 4 . π . r2               A = π . d2 KESİK KÜRE                                      2            V = -------  .π.r3                     3 A = 3π . r2                                      HACİM VE ALAN HESAPLARI  2 İSMİ ŞEKİL HACiM ALAN KÜRE PARÇASI               1 V =π.h2 (r − ---- . h)                3     a = 2π.r.h+π(2.r.h - h2)       A = π.h(4r - h) KESİK  SİLİNDİR                    h +h1    V = π r2 . ----------                       2      A= π.r.(h+h1)+F+f SİLİNDİR       V = π . r2 . h          A=2π.r.h+2π.r2 İÇİ BOŞ SİLİNDİR     V = π . h(R2 — r2)    A=2.π.h(R+r)+2π.(R2 - r2) SİLİNDİRİK HALKA              π.d 2      V = ---------  .π.D                 4         A = π . d . π . D

Benzerlik Kavramı

ABC ve DEF üçgenleri için;

oranı yazılır

Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve

ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.

 eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik

katsayısı denir.

•  k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir.

ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

2. Açı – Açı Benzerlik Teoremi

Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.

şekilde verilen üçgenlerde

İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir. 

m(C)=m(F)

3. Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.

ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.

BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir.

4. Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.

Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.

m(A) = m(D),

m(B) = m(E),

m(C) = m(F)

5. Temel Benzerlik Teoremi

ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş  açılar eş   olacağından   ADE ~ ABC dir.

Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC]  |AK|=2|KB| |AL|=2|LC|

6. Tales Teoremi

Paralel doğrular kendilerini kesen  doğruları aynı oranda bölerler.  d1 // d2 // d3  doğruları için Buradan  de elde edilir

[AB] // [DE] ise oluşan içters  açıların eşitliğinden,ABC ~ EDC olur. Buradan, eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.

7. Benzerlik Özellikleri

Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.

ABC ~ DEF  Û

Burada k ya benzerlik oranı denir.

a. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir.

b. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

c. Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir.

e. ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı r_ABC ve çevrel çemberin yarıçapı R_ABC , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı r_DEF ve çevrel çemberin yarıçapı R_DEF olsun.

f. Alanlar oranı

Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

g. Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.

Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 … gibi tek sayılarla orantılı olarak artar.

[AB] // [EF] // [DC]  benzerlik özelliklerinden, |AB|.|FC|=|DC|.|BF|

8. Özel Teoremler

a. Menelaüs

ABC üçgeni KM doğru parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise

b. Seva

ABC üçgeni içerisinde alınan bir P noktası için,